欧拉角、顺规、旋转矩阵、四元数

最早接触四元数是unity3d里面的旋转，当时不太理解使用四元数的意义（在此时的我看来欧拉角已经可以完全表示一个朝向了），后来在旋转时出了很多莫名其妙的问题，发现有必要remake一下。

参考资料，感谢大佬们

https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf

https://www.bilibili.com/video/BV1SW411y7W1?spm_id_from=333.999.0.0

为什么直接改欧拉角，效果经常与预期不符

现在考虑一个问题：在你修改欧拉角时，意味的到底是“绕自身坐标轴旋转”，还是“绕世界坐标轴旋转”？

在unity里面测试，多测测就会发现：既不是按自身也不是按世界，而是有时按自身有时按世界？？

如果你随便拿一支笔（不要用unity），用手先绕X轴旋转90度，再绕Y轴旋转90度；再反过来试一下，会发现得到的位置不一样了。

这是因为旋转不具有交换律，相应的矩阵乘法也不具有交换律。

欧拉角

欧拉角需要区分为两种：动态欧拉角和静态欧拉角，他们都需要定义顺规。

静态欧拉角即绕世界静止坐标系旋转，动态欧拉角即绕自身坐标系旋转，前一个轴的旋转会影响下一个轴。

这里只分析动态欧拉角（我认为更好用）

顺规

考虑这么一个问题：如何实现一个可以自由旋转的飞机（假设面向+Z轴，要求Yaw-Pitch-Roll）？

可以用三个嵌套（做父物体）的箱子，最里面的箱子可以直接用飞机本身，所有物体的坐标都是相对父物体的；

第一个箱子仅绕自身y轴旋转（实现Yaw），第二个仅绕自身x轴旋转（Pitch），第三个仅绕自身z轴旋转（Roll）

通过控制这三个箱子，我们可以用比较好理解的方式合理、正确地旋转飞机。

这样的箱子便是动态欧拉角中的万向节，上述例子其实就是一个顺规为YXZ的动态欧拉角。

注意：这个顺规如果改变的话，飞机的旋转就很奇怪了，这并不是因为其他顺规错了（在数学上都没错）

而是因为我们对飞机的自然直觉就是符合动态欧拉角下的Yaw-Pitch-Roll顺规的。

在遇到其他复杂旋转问题时也可以使用箱子嵌套的方式思考，然后得出一个理想的顺规。

至于万向节锁，个人认为并不是什么大问题（飞机头垂直向上时，Roll和Yaw结果相同），依旧符合我们的自然直觉，且可以通过Pitch化解。

旋转矩阵表示

这里使用列向量。

我们通常用一个transform矩阵来表达一个物体的位置，大小，朝向信息。

• 它表示的是物体从世界坐标的原点（没有缩放、平移、旋转）到当前状态经历的变换。
• 它能表示物体的坐标系。
• 更一般地，它是物体顶点从局部坐标变换到世界坐标时需要乘上的矩阵。

直接维护Transform

单独的旋转、平移、缩放矩阵形式在此不再多提及，它们直接应用在一个向量（点）上的意义非常明确。

假设有了一个物体，它的Transform为 \(T\)（已经经过了一些复杂变换），现要让这个物体继续进行某种位移，位移矩阵为 \(V\)

假如我们直接令 \(T =V\times T\)，即在左侧乘，效果是怎么样的？

可以想象 \(T\) 的右边还有个向量 \(v\)，考虑这单个 \(v\) 的变换，它先变换 \(T\)，然后再位移 \(V\)，即最终效果为在世界坐标系下位移了 \(V\)，很好理解。

如果 \(T=T\times V\) 呢？

这个 \(v\) 在所有原先的变换前，先进行了位移，然后再变换 \(T\)，相应的，这个位移本身也会被变换 \(T\)。

如果把变换前的 \(T\) 看做一个坐标系，就可以说，这是在物体自身坐标系下位移了 \(V\)。

另一个角度，如果要在自身坐标系下位移，可以利用相似矩阵 \(TVT^{-1}\)，乘上原有的矩阵就变成 \(TV\) 了。

总结：

• 左边乘变换矩阵，相当于在世界（父）坐标系下变换
• 右边乘变换矩阵，相当于在自身坐标系下变换

用旋转矩阵表示旋转不会遇到歧义、死锁的问题，缺点是占用空间大，运算量大（欧拉角使用3个数，四元数使用4个数，而旋转矩阵使用了16个数），另外不太直观。

从Transform中看

如果把Transform矩阵看成一个仿射变换和一个位移的组合（世界坐标下位移），通常我们说它是先仿射再位移得到的。

为什么？不是因为先位移不对，而是先位移的话，位移的量就不再是矩阵第四列的三个值了。我们说先仿射再位移，是基于位移量直接等于第四列的值来说的。

而从仿射矩阵中分解出缩放和旋转，需要另做一些计算。

我更喜欢用基向量、坐标系的方式来考虑矩阵，它的前三列分别表示了这个坐标系的三个基向量，最后一列表示这个坐标系原点的位置。

四元数表示

\[ \newcommand{\vec}{\bold} \]

https://krasjet.github.io/quaternion/quaternion.pdf 推导的非常好

四元数表示为 \(q=[s, \vec v], \vec v=[x,y,z]\)，\(q = a+bi+cj+dk\)

有三个虚部，满足关系： \[ i^2 = j^2 = k^2 = ijk = -1 \] 可以推得 \(jk=i, ij=k\) 等等关系

四元数乘法也按照多项式相乘规则，展开化简后可得： \[ \begin{align} q_1 &= [s, \vec v], q_2 = [t, \vec u]\\ q_1 q_2 &= [st-\vec v\cdot \vec u, s\vec u+t\vec v + \vec v \times \vec u] \end{align} \] 如果两个四元数的实部都为0（纯四元数），则会得到： \[ q_1q_2 = [-\vec v\cdot \vec u, \vec v \times \vec u] \] 四元数的逆为： \[ q^{-1} = \frac{q^*}{|q|^2} \] 其中 \(q^*\) 为共轭四元数，即将虚部取反，实部不变。

下面直接给出结论：

对任意向量 \(\vec v\)，沿着轴 \(\vec u\) 旋转 \(\theta\) 度得到 \(\vec v'\)

可以构造四元数：\(v = [0, \vec v], q = [cos(\frac{1}{2}\theta), sin(\frac{1}{2}\theta) \vec u]\)，\(q\) 为单位四元数。

旋转可以用四元数乘法表示： \[ [0, \vec v'] = qvq^{*} \] 同样的，给定一个四元数，也可以轻松得到对应的旋转轴和角度。

连续进行两次旋转，等价于四元数累乘。 \[ pqvq^*p^* = (pq)v(pq)^* \]